当前数学教育改革者提出要“转变教育观念”，认为当前的“教育观念滞后，人才培养目标同时代发展的需求不能完全适应”［1］。对此，许多数学教师感到茫然。为了使广大教师明确改革的目的，我们通过综述对数学教育具有决定性影响的几种观念，分析一下各个时期主要数学教育观念存在的理由，弄清什么是正确的数学教育观念。
一、 几种数学教育观念的综述
(一)严格训导的数学教育观
由于社会需要教育培养人具有条理性、自律性、服从性以及敬业精神等品格，而且数学知识被看作是由权威去粗取精确定下来的具有清晰体系的事实和技能，与其他领域中的知识相比较，其特征可用“对与错”“好与坏”来勾画，不存在社会争执性问题，完全是中性的。因此通过数学教育不仅可以培养学生的数学能力，更重要的可以使其养成遵从法则的习惯，培养学生劳动和勤奋的品质，避免学生养成懒惰的不良习性，实现社会对教育的要求。
提倡严格训导的数学教育观认为能力由遗传因素所决定。曾流行的看法是：人的大脑之初是一张白纸——“没有文字的白纸”，有待于在上面书写文字；儿童是具有能力差别的空桶，应由教育填入适当的东西，如果听其自然，空桶里必然会滋生垃圾。这就是所谓的“白版”观或“空桶”观。既然儿童是“空桶”，就必须由教师对其加强训练、填入正确的知识。因此严格训导数学教育观认为，教师要通过对学生实施严格的纪律约束，通过把数学知识分解为一个个事实进行教学，把学生训练为专心致志、努力去掌握知识的人，为此书面习题练习和机械学习都是重要的。教育通过传授数学知识，最终培养学生刻苦、勤奋及自律等好品质。类似学校要“以严治学”“教师要具有威严、威信，保证学生记住最重要的东西”等说法都是这种教育观念的表现。显然，这样的教育观是“以教师为中心”的。
也就是说，“重要的是教师的质量，而不是他们的设备”。严格训导数学教育观反对过分强调教师使用教具，尤其要限制计算机的使用，“要认识到课堂中计算机的危害”。认为计算器使复杂的计算变得容易，使用计算器限制了计算能力的发展，而学生需要的是“大量练习和机械学习”。儿童中心、探究教学及计算器使用均能导致儿童的随心所欲、懒惰，使儿童逃避必要的艰苦劳动。“发现”虽然也可以从事物中获得，但不是那些逗人的娱乐素材、游戏、谜语或影像等使精力分散的、与书本不相关的东西。学习要注重书本练习。学习是独立的，具有个人性，可比做“工作”，需要辛勤劳动和实践。即知识的获得必须依靠努力和专心，像生活中获得任何成功之事一样，学习数学依赖个人的数学运用、自我否定和艰苦努力。那种认为不作努力或在游戏、猜谜和活动中就能掌握知识的看法是不对的，使学习科目与儿童的兴趣相结合也是不对的，竞争是最有效的驱动力，因为竞争使适者生存，所以数学教育应提倡必要的竞争。
严格训导数学教育观反对讨论和合作学习，认为这种做法容易掺假，比如不假思索地获得答案容易养成懒惰习惯。相反地，用简洁明了的目标去检查学生正确运用知识能力的考试，可为学业成绩、衡量成功提供客观标准。即学生以正确的方式通过考试，才是数学学习的目的。但考虑到儿童生来数学能力的不同，允许儿童的进步速度不同。对于大多数学生而言数学教育的目的是掌握基本技能，为适应劳动生活做好准备；对于少数精英学生而言数学教育的目的是掌握广泛知识，接受成为统治阶级的训练，为将来的职业和生活角色做准备。
(二)技术实用主义的数学教育观
19世纪后期，科学技术逐渐成为社会和文化发展的主要原因。特别是20世纪50年代以后，各国在总结发展经济的经验时发现，教育是促进经济增长的重要因素，社会需要越来越多的有文化懂技术的劳动者。社会对未来劳动者有一定技术知识的需求，迫使教育要进行改革；同时，各国普及教育年限的延长，使得教育加大技术实用内容成为可能。
另一方面，数学具有解决实际问题的功效，在现代社会生活中表现得更加经常与直接。尤其是应用数学的迅猛发展，进一步突出了数学实用性的本质。例如时间的估计、钱财的计算；从事各种职业的人们为了工作或把工作做得更好，可能需要简单的计算技能甚至微分求极值这样复杂的内容。基于此，19世纪末20世纪初，由德国数学家克莱茵和英国数学教育家贝利在英国发起并领导的数学教学改革［2］(又称为克莱茵—贝利运动)提出，“数学教育必须重视应用”，强调实用的问题。1982年，英国公布的Cockcroft报告［3］全面论述了工业社会中学生需要掌握的数学，明确表现出技术实用目的的观点。数学教育内容从过去主要的纯数学，逐渐向“以问题为导向的应用数学”转变的趋向表明，技术实用主义数学教育观的影响一直沿续至今。例如，当前的数学教育特别强调问题解决，认为数学建模是培养学生问题解决能力的重要途径；计算机数学、统计、概率、线性规划、运筹分析等应用数学的内容被越来越多地引进数学课程等，充分说明了技术实用主义对今天的数学教育的重大影响。
由于认为数学能力先天固有，但需通过教学实现其潜能，即儿童是需经砥砺锋刃的“钝器”。因此技术实用主义数学教育观重视儿童的经验，视经验为儿童潜在的技能以及适应未来就业的源本，认为教给学生适当水平的数学，为其成人就业的需要做好准备才是教育的根本任务。数学教育目的应体现在：使学生具有就业需要的数学知识和技能；确定学生的数学成绩，以便就业选择；通过全面技术培训，进一步使学生掌握技术知识，如电脑和信息技术。
对教学的看法是强调技能教学，认为激发学生学习的核心在于“教学艺术”，即技术与教育相适应的教学；同时认为数学学习类似“跟师傅学徒”，知识和技能的获得要来自实践经验。如要精通建模必须充分实践——只观看别人做或重复别人所做毫无用处——必须亲身实践。为此，教学上的资源相当重要。教师利用资源讲解或激发教学；学生利用资源从事实践活动。尤其是信息技术技能，学生必须动手操作计算机、媒体视频等资源。同时，把学生分为不同等级水平的重要依据是考试所提供的成绩或证书。
(三)旧人文主义的数学教育观
智力活动从体力劳动中分离出来后就与权力阶级、上流社会紧密相关，教育也是为社会统治者所占有，是精英教育。教育目的是传播纯知识、高层文化；造就文化教养之士，使少数社会精英人物具有高雅的精神面貌、道德水准以及美学修养等统治阶级所需的品质。同时，由于数学是精英或少数天才的产物，具有理性中的简洁性、清晰性、纯粹性和客观性，被认为是人类的最高成就、文化的核心、“科学的皇后”、绝对真理的完美结晶，是培养人的智力的最好学科。形如“数学是思维的体操”“数学是智力的磨砺石”等说法，就是上述观点的代表。
由于把推理、理性和逻辑视为人认识的核心，强调数学文化的价值远远高于实际应用的价值，因此对于数学的本质，除从纯数学知识的角度进行了讨论外，不考虑数学的应用。这种对待纯粹数学与应用数学的不同态度，深刻地影响着数学教育，使之只重视数学知识、文化和内在的价值传播；强调数学结构、概念层次和严密性，以便达到传播数学的内在纯内容的目的；要求学生经过深入的学习，理解并欣赏纯数学的美及美学价值。
把纯粹数学当做数学教育的核心，轻视实用和应用数学的具体表现之一是：教学往往选择体现数学高度抽象与逻辑严密特点的内容。例如，教材中选用直尺和圆规作为作图工具其目的是为纯数学服务。虽然也提倡使用计算器和计算机，但仅限于掌握了基础概念的高年级学生。认为参加实践活动、进行考察是一项实际的工作，不适于学习纯数学的学生，只适于不学习“真正”数学的差生。其理由是大多数世间数学千变万化的应用的根源，就在于数学的高度抽象性与严密的逻辑性。即数学广泛的应用性不过是其高度抽象性与逻辑严密性的一个必然结果而已。所以对教材内容组织体系的要求是：从大纲到教材以及课堂教学过程中，内容的取舍、编排顺序等都强调以数学的逻辑体系为主线。列举实例不过是为了帮助学生领会、理解抽象的数学概念，或者是为了验证逻辑演绎建立起来的数学理论的威力(理论之后的简单应用)，让学生了解理论的来龙去脉而已。因此这一数学教育观是建立在以数学的知识结构和数学家的价值为中心基础之上的“数学中心观”。
这种数学教育观以纯智力衡量数学才能，认为数学素质先天固有。数学能力存在等级，顶端是数学天才，底部是数学低能者。教学只不过起帮助学生发挥自己固有才能，使其“数学潜能”表现出来的作用。因此学校应按数学能力分班：使数学天才学习数学的精华内容，以便将来成为纯粹数学家；学不好数学的人学习少量的知识，只要达到数学能力水平较低的程度即可。教师的作用在于采用多种方法有意义地讲授、解释数学结构，采纳课本组织的结构，用生动的语言激发学生，并用课外问题和活动丰富数学教学，帮助学生学习和理解数学。鼓励学生根据个人的数学能力水平努力攀登数学的较高水平，以便逐步接近“真正”的数学。
成功的数学学习是将纯数学概念结构内化的学习：了解逻辑关系下概念和性质的层次系统，数学思想方法，窥见数学的组织结构。正确学习数学知识包括解决数学问题和难题。要求学生根据自己的才
