什么是数学？不太清楚。但我以为关心数学的某些人会有这样的感觉，认为数学实际不就是这么回事吗？本文要叙述一个数学家看到数学的印象，即像我这样对数学专业以外的事情就不太懂的单纯的数学家，在研究数学时，感到数学是什么呢？我是直率而不加修饰的谈这一问题以提供读者参考。

一般认为数学是按严密的逻辑构成的科学，即使与逻辑不尽相同，却也大致一样。但是实际上，数学与逻辑没有什么关系。数学当然应该遵循逻辑，但逻辑在数学中的作用就像文法在文学中的作用那样。书写合乎文法的文章与照着文法去写小说完全是两码事；同样，进行正确的逻辑推理与堆砌逻辑去构成数学理论是性质完全不同的性质。

通常的逻辑谁都明白，要是数学能归结到逻辑，那么谁都应该懂得数学了。但是初中高中很多学生理解不了数学却是众所周知的事实。精通语言学但数学成绩不好的学生不在少数。所以我认为数学在本质上与逻辑不同。

数学

考虑除数学外的自然科学，例如物理学可以说是研究自然现象中物理现象的科学。在同样的意义上，数学就是研究自然现象中数学现象的科学。因此，理解数学就要「观察」数学现象。这里说的「观察」不是用眼睛去看，而是根据某种感觉去体会。这种感觉虽然有些难以言传，但显然是不同于逻辑推理能力之类的纯粹感觉，我认为更接近于视觉。也可称之为直觉，为了强调是纯粹感觉，以下称此感觉为「数觉」。直觉包含着「一瞬领悟真谛」的含义，不太贴切。数学的敏锐，如同听觉的敏锐一样，与头脑好坏没有关系（指本质上没有关系的意思，而不是统计上没有相关关系）。但是要理解数学，不靠数学便一事无成。没有数觉的人不懂数学就像五音不全的人不懂音乐一样（这只要担当数学不行的孩子的家庭教师就马上明白。你眼前看到的事情孩子却怎么也看不见，说明起来很吃力）。数学家自己并不觉得如在证明定理时主要是具备了数觉，所以就认为是逻辑上作了严密的证明，实际并非如此，如果把证明全部用形式逻辑记号写下看看就明白了。那就过份冗长，实际上不可能（当然不是说证明在逻辑上不严密。而是依照数觉，那些明显的事实就略去逻辑推理而已）。最近每每谈及数学的 sense（感受），而作为数学 sense 基础的感觉，可以说就是数觉。数学家因为都有敏锐的数觉，自己反倒不觉得了。

数学也以自然现象为对象

把数学的对象看作是自然现象的一部份，也许有人说这不讲道理，但是数学现象与物理现象同样是无可争辩的实际存在的，这明确表现在当数学家证明新定理时，不是说「发明」了定理，而是说「发现」了定理。我也证明过一些新定理，但绝不是觉得自己想出来的。只不过感到偶而被我发现了早就存在的定理。

正如大家不断指出的那样，数学对理论物理起着难以想象的作用。简直可以认为物理现象彷佛全都遵循着数学的法则。而且在许多场合，物理理论所需要的数学在该理论被发现以前很久就已经由数学家预先准备好了。典型的例子要算爱因斯坦广义相对论中的黎曼空间了。数学对物理如此起作用，其理由何在呢？过去的说法，归结起来是说数学是物理的语言。也许可以说，如广义相对论中黎曼几何的作用就是一种语言。但是在量子力学中，数学却真起了魔术般的神秘作用，在这里无论如何也不能认为数学只是语言了。